Topología Algebraica

La materia pretende ser una introducción a la Topología Algebraica que permita presentar algunos de sus métodos y herramientas desde una perspectiva puramente topológica y aplicarlos a la resolución de problemas, especialmente topológicos y geométricos, pero también algebraicos.

Tras una formación inicial en Topología General, Geometría Diferencial y Álgebra, se propone el estudio de los métodos de la Topología Algebraica, combinados con otros métodos topológicos, para resolver de forma elegante y eficaz problemas difíciles, pero de formulación sencilla, como propiedades geométricas de las esferas, teoremas clásicos relacionados con problemas algebraicos o dinámicos, teoremas de punto fijo o invariancia topológica de la dimensión.

La interrelación entre teorías diversas debe facilitar la consolidación de los conocimientos adquiridos previamente y el proceso de maduración matemática, favoreciendo una comprensión unitaria y preparando al estudiante para posteriores desarrollos.

La materia consta de dos partes. La primera parte está dedicada al estudio de las cubiertas desde una doble perspectiva topológica y homotópica. La noción de cubierta regular se introduce en el Tema 4 a partir del estudio previo de las acciones propiamente discontinuas de grupos discretos en los Temas 2 e 3. En este tema se caracterizan las cubiertas regulares de modo intrínseco y se describen los primeros ejemplos de cubiertas no regulares. En el Tema 5, se estudia la propiedad de levantamiento de homotopías y se aplica a la descripción del grupo fundamental de una cubierta. La adjunción de celdas como método de construcción de espacios topológicos con buenas propiedades topológicas y homotópicas se describe en el Tema 1 con el propósito de proporcionar ejemplos de interés en ambas partes de la materia, algunos bien conocidos, pero otros muchos nuevos. En esta primera parte son esenciales los conocimientos de topología cociente adquiridos en el curso de Topología. General.

En la segunda parte de la materia se aborda el estudio de otro invariante algebraico, llamado homología, que asocia a cada espacio topológico una sucesión de grupos abelianos y que también fue introducido por H. Poincaré para resolver problemas de clasificación. De las muchas versiones de este invariante, incluyendo la original de Poincaré, se escoge la homología singular, menos elemental e intuitiva que otras, pero mucho más simple de presentar y calcular. Un aspecto esencial del curso es el cálculo explícito de los grupos de homología de los espacios presentados en el Tema 1 y otros muchos. La potencia de la homología para resolver problemas geométricos o algebraicos se ilustrará con las aplicaciones antes mencionadas.

PARTE 1 : Teoría topológica y homotópica de cubiertas

1. Superficies y variedades (4 CLE + 1 CLIL)
Pegado de espacios y adjunción de celdas. Superficies compactas. Espacios proyectivos y espacios lente. Variedades topológicas y diferenciables.

2. Acciones de grupos y espacios de órbitas (4 CLE + 1 CLI)
Grupos topológicos y grupos de Lie. Acciones de grupos. Ejemplos.

3. Acciones propiamente discontinuas (2 CLE + 1 CLIL)
Acciones propiamente discontinuas. Grupos discretos de isometrías.

4. Cubiertas (5 CLE + 2 CLIL)
Definición de cubierta. Ejemplo fundamental: acción de un subgrupo discreto de un grupo topológico. Grupo de automorfismos de una cubierta. Cubiertas regulares. Aplicaciones: variedades cociente y superficies compactas con curvatura constante negativa.

5. Homotopía de cubiertas (5 CLE + 2 CLIL)
Homotopía de aplicaciones. Retractos por deformación y espacios contráctiles. Homotopía de caminos. Propiedad de levantamiento de homotopías. Grupo fundamental de una cubierta. Clasificación de cubiertas. Cubierta universal. Teorema de existencia de cubiertas universales. Aplicaciones.

PARTE 2 : Homología singular

6. Homología singular (5 CLE + 2 CLIL)
Simplices. Complejos y aplicaciones simpliciales. Complejo de cadenas singulares. Homología singular. Efecto de las aplicaciones continuas e invariancia topológica. Homología de un espacio contráctil. Homotopía de cadenas. Invariancia homotópica. Relación con el grupo fundamental.

7. Sucesión de Mayer-Vietoris (6 CLE + 3 CLIL)
Sucesión exacta de Mayer-Vietoris. Primera aplicación: homología de las esferas y grado de aplicaciones entre esferas. Segunda aplicación: suspensiones y homología de las suspensiones. Tercera aplicación: homología de las superficies compactas. Cuarta aplicación: homología de los espacios proyectivos reales y complejos. Quinta aplicación: homología de los fibrados en toros sobre el círculo.

8. Homología relativa y escisión (5 CLE + 1 CLIL)
Subdivisión baricéntrica. Homología relativa. Sucesión exacta larga de un par. Teorema de escisión. Interpretación de los grupos de homología relativa. Retorno a Mayer-Vietoris.

9. Aplicaciones (4 CLE + 1 CLIL)
Teoremas de Brouwer y Borsuk-Ulam. Teorema de Poincaré. Indice de Poincaré de una curva cerrada del plano: fórmula de Poincaré. Teorema de Cauchy y D'Alembert. Teorema de separación de Jordan-Brouwer. Teorema de invariancia do dominio.

Bibliografía básica:
Armstrong M. A., Topología básica. Editorial Reverté. Barcelona, 1987.
Croom F.H., Basic Concepts of Algebraic Topology. Springer-Verlag, New York, 1978.
Hatcher A., Algebraic topology. Cambridge University Press, Cambridge, 2002.
Munkres J. R., Elements of Algebraic Topology. Addison-Wesley, Menlo Park,1984.
Vick J. W., Homology Theory. Springer-Verlag, New York, 1994

Bibliografía complementaria:
Bourbaki N., Éléments de Mathématique. Topologie générale, chapitres 1 à 4. C.C.L.S, Paris, 1971.
Bredon G. E., Topology and Geometry. Springer-Verlag, Berlin, 1993.
Conlon L., Differentiable Manifolds. Birkhäuser, Boston, 2009.
Dubrovin B.A., Fomenko A.T., Novikov S.P., Modern Geometry. Methods and Applications. Springer-Verlag, New York, 1985
Dugundji J., Topology. Allyn and Bacon. Boston, 1966.
Eilenberg S., Steenrod N., Foundations of Algebraic Topology. Princeton University Press, Princeton, 1951.
Godbillon C., Éléments de Topologie Algébrique. Hermann, Paris, 1971.
Greenberg M. J., Harper, J. R., Algebraic Topology: a first course. Benjamin, Massachusetts, 1981.
Kosniowski C., Topología Algebraica. Editorial Reverté, Barcelona, 1986.
Lee J.M., Introduction to Topological Manifolds. Springer-Verlag, Berlin, 2000.
Massey, W. S., Introducción a la Topología Algebraica. Editorial Reverté, Barcelona, 1972.
Massey, W. S., A Basic Course in Algebraic Topology. Springer-Verlag, New York, 1991.
Massey W.S., Singular Homology Theory. Springer-Verlag, New York,1980.
May J.P., A Concise course in algebraic topology. University of Chicago Press, Chicago, 1999.
Spanier E., Algebraic Topology. Springer-Verlag, Berlin, 1995.
Steenrod N., The Topology of Fibre Bundles. Princeton University Press, Princeton,1951.

Además de las competencias genéricas contempladas en la Memoria del Grado de Matemáticas, podemos indicar otras más concretas:

- Conocer el concepto de cubierta y sus propiedades homotópicas y saber construir cubiertas regulares y no regulares de espacios topológicos comunes.
- Conocer los conceptos básicos de la Topología Algebraica.
- Trasladar las destrezas adquiridas en los estudios previos de topología, geometría y álgebra al cálculo del grupo fundamental y de los grupos de homología de espacios topológicos comunes.
- Utilizar las técnicas homológicas para abordar problemas topológicos y geométricos.
- Conocer ejemplos e contraejemplos de espacios que ilustren las propiedades estudiadas.

Las “clases expositivas” se dedicarán a la exposición de los aspectos teóricos y prácticos de la materia por parte del profesor. Las “clases interactivas de laboratorio ” estarán dedicadas al estudio de ejemplos y a la resolución de problemas.

Habrá un doble método de evaluación: evaluación continua, realizada a lo largo del curso en base a la participación de cada alumno en clase, los ejercicios resueltos y los trabajos realizados, y una evaluación puntual, realizada mediante una prueba final fijada en el calendario oficial de la facultad. La evaluación continua supondrá un 40% de la calificación final y consistirá en la entrega por escrito de un problema de cada tema. La prueba final consistirá en la resolución de uno o varios problemas y representará el 60% de la calificación final. Una evaluación continua positiva podrá eximir de la realización total o parcial de la prueba escrita. De acuerdo con la normativa, la calificación final no será inferior a la nota del examen final (en caso de realización).

Horas de trabajo presencial:
Clases expositivas 42
Clases interactivas de laboratorio 14
Tutorías en grupos muy reducidos o individualizadas 2
Total horas trabajo presencial 58

Horas de trabajo do estudiante
Estudio teórico y práctico relacionado con la docencia presencial 42
Preparación de los ejercicios y de la prueba escrita 50
Total horas trabajo personal 92