Lenguaje Matemático, Conjuntos y Números

Esta es una asignatura sobre los fundamentos de las matemáticas y ofrece una preparación para las demás asignaturas de la carrera de matemáticas. El alumnado desarrollará buenos hábitos de comprensión, comunicación y escritura matemáticas. En ella se trabajarán métodos y técnicas de razonamiento, principalmente de matemática discreta. Los métodos se aplicarán para resolver varios problemas interesantes. Podría decirse que se trata de una asignatura sobre entender y pensar, y no sobre calcular y memorizar reglas.
El programa explora temas que involucran números, conjuntos y funciones. Con propiedades elementales de estos y la lógica como base, se pasa a la inducción y la cardinalidad. En matemática discreta consideramos las técnicas de conteo. El estudio de los números naturales incluye las propiedades de divisibilidad y la aritmética modular.

1. Introducción a la lógica matemática. (1 hora expositiva)
1.1. Necesidad e importancia del lenguaje lógico: Paralogismos.
1.2. Lógica proposicional: Proposiciones atómicas y moleculares.
1.3. Tablas de verdad. Tautologías y contradicciones.
1.4. El proceso de deducción. Razonamientos y demostraciones formales en el cálculo proposicional.

2. Conjuntos. (4 horas expositivas)
2.1. Conjuntos y elementos. Subconjuntos: Partes de un conjunto.
2.2. Representaciones gráficas: Diagramas de Venn.
2.3. Conjunto referencial. Operaciones con conjuntos: Propiedades. El álgebra de Boole de las partes de un conjunto.
2.4. Recubrimiento y partición. Unión disjunta y producto cartesiano.

3. Aplicaciones. (4 horas expositivas)
3.1. Concepto de aplicación. Gráfica de una aplicación: Ejemplos.
3.2. Tipos de aplicaciones: Inyectivas, sobreyectivas y biyectivas.
3.3. Composición de aplicaciones: Propiedades. Aplicación inversa.
3.4. Extensiones de una aplicación al conjunto de partes.

4. Relaciones. (6 horas expositivas)
4.1. Noción de relación. Composición de relaciones. Relación inversa.
4.2. Representaciones gráficas.
4.3. Relaciones binarias en un conjunto: Propiedades. Relación inducida.
4.4. Relaciones de equivalencia: Clases de equivalencia: Propiedades. Conjunto cociente.
4.5. Factorización canónica de una aplicación.
4.6. Relaciones de orden: Representaciones gráficas: Diagramas de Hasse (árboles). Orden total y parcial. Elementos destacados de un conjunto ordenado. Cadenas, retículos y conjuntos bien ordenados.

5. Conjuntos infinitos. (3 horas expositivas)
5.1. Conjuntos finitos e infinitos.
5.2. Los números naturales como clases de conjuntos finitos equipotentes.
5.3. Principio de inducción. Operaciones y orden en N.
5.4. Conjuntos numerables y no numerables. Los números racionales. El procedimiento diagonal y la no numerabilidad de R.
5.5. El axioma de elección y el lema de Zorn.

6. Combinatoria. (3 horas expositivas)
6.1. Variaciones. Variaciones con repetición.
6.2. Números factoriales. Permutaciones. Permutaciones con repetición.
6.3. Números combinatorios. Combinaciones.
6.4. Combinaciones con repetición.
6.5. Principio de inclusión-exclusión. Enumeración de las aplicaciones sobreyectivas.
6.6. El triángulo de Tartaglia-Pascal. El binomio de Newton.

7. Aritmética entera y modular. (7 horas expositivas)
7.1. Operaciones binarias.
7.2. Números enteros y estructura de (Z,+). Propiedades de Z.
7.3. Divisibilidad. Números primos y el teorema fundamental de la aritmética.
7.4. Máximo común divisor y mínimo común múltiplo. Teorema de Bézout.
7.5. Algoritmo de Euclides. Algoritmo de Euclides extendido.
7.6. Aritmética modular. Los anillos Z/(n). Congruencias. Unidades módulo n. El teorema de Euler-Fermat.
7.7. Ecuaciones diofánticas. Resolución de ecuaciones diofánticas lineales.
7.8. Números enteros coprimos: El teorema chinos de los restos.
7.9. Polinomios en una variable.

Bibliografía básica:

F. Aguado, F. Gago, M. Ladra, G. Pérez, C. Vidal, A. M. Vieites: Problemas resueltos de Combinatoria. Laboratorio de Sagemath, Ed. Paraninfo, S.A., 2018.
J.P. D’Angelo, D. B. West: Mathematical Thinking: Problem-Solving and Proofs, 2ª ed., Prentice Hall, 2000.
V. Fernández Laguna: Teoría básica de conjuntos, Anaya, 2004.
M. A. Goberna, V. Jornet, R. Puente, M. Rodríguez: Álgebra y Fundamentos: una Introducción, Ariel, 2000.
K. H. Rosen: Matemática Discreta y sus Aplicaciones, 5ª ed., McGraw-Hill, 2004.


Bibliografía complementaria:

M. Anzola, J. Caruncho: Problemas de Álgebra (Conjuntos-Estructuras), BUMAR, 1982.
E. D. Bloch: Proofs and Fundamentals A First Course in Abstract Mathematics, Springer, 2011.
T. S. Blyth, E. F. Robertson: Sets, Relations and Mappings, Cambridge University Press, 1984.
R. Courant, H. Robbins: What Is Mathematics? An Elementary Approach to Ideas and Methods, 1941
(2ª ed., rev. por Ian Stewart, Oxford University Press, 1996). Tr.: ¿Qué es la Matemática?, FCE, 2003.
D. E. Ernts: An Introduction to Proof via Inquiry-Based Learning, AMS/MAA Textbooks Vol. 73, 2022.
H. Rademacher, O. Toeplitz: Números y Figuras. Alianza editorial, 1970.

CB1 - Que los estudiantes hayan demostrado poseer y comprender conocimientos en un área de estudio que parte de la base de la educación secundaria general, y se suele encontrar a un nivel que, si bien se apoya en libros de texto avanzados, incluye también algunos aspectos que implican conocimientos procedentes de la vanguardia de su campo de estudio.
CB2 - Que los estudiantes sepan aplicar sus conocimientos a su trabajo o vocación de una forma profesional y posean las competencias que suelen demostrarse por medio de la elaboración y defensa de argumentos y la resolución de problemas dentro de su área de estudio.
CB4 - Que los estudiantes puedan transmitir información, ideas, problemas y soluciones a un público tanto especializado como no especializado.
CB5 - Que los estudiantes hayan desarrollado aquellas habilidades de aprendizaje necesarias para emprender estudios posteriores con un alto grado de autonomía.
CG2 - Reunir e interpretar datos, información y resultados relevantes, obtener conclusiones y emitir informes razonados en problemas científicos, tecnológicos o de otros ámbitos que requieran el uso de herramientas matemáticas.
CG5 - Estudiar y aprender de forma autónoma, con organización de tiempo y recursos, nuevos conocimientos y técnicas en cualquier disciplina científica o tecnológica.
CT1 - Utilizar bibliografía y herramientas de búsqueda de recursos bibliográficos generales y específicos de Matemáticas, incluyendo el acceso por Internet.
CT2 - Gestionar de forma óptima el tiempo de trabajo y organizar los recursos disponibles, estableciendo prioridades, caminos alternativos e identificando errores lógicos en la toma de decisiones.
CT3 - Comprobar o refutar razonadamente los argumentos de otras personas.
CT4 - Trabajar en equipos interdisciplinares, aportando orden, abstracción y razonamiento lógico.
CT5 - Leer textos científicos tanto en lengua propia como en otras de relevancia en el ámbito científico, especialmente la inglesa.
CE1 - Comprender y utilizar el lenguaje matemático.
CE6 - Saber abstraer las propiedades y hechos sustanciales de un problema, distinguiéndolas de aquellas puramente ocasionales o circunstanciales.
CE7 - Proponer, analizar, validar e interpretar modelos de situaciones reales sencillas, utilizando las herramientas matemáticas más adecuadas a los fines que se persigan.

La distribución semanal de la materia será la siguiente: 2 horas de clases de expositivas, 1 hora de clase de seminario y 1 hora de laboratorio.
Las clases expositivas en grupo grande se dedicarán a la exposición de los contenidos fundamentales de la disciplina, con la exposición de la teoría, resolución de problemas y presentación de algunos ejercicios.
Las clases de seminarios en grupo reducido se tratarán aspectos complementarios de la materia, realización de problemas y ejercicios y su corrección por parte de los profesores.
En los laboratorios en grupo reducido el protagonismo fundamental será de los alumnos, que deberán presentar ejercicios y exposiciones relacionados con la materia.
En las tutorías en grupo muy reducido se hará un seguimiento personalizado del aprendizaje de los alumnos y el desarrollo de las competencias especificadas.

El sistema de evaluación será coordinado para los dos grupos de la materia.

Se prevé como criterio de evaluación la evaluación continua combinada con una prueba final. Esta prueba final se celebrará en la fecha fijada por la Facultad de Matemáticas a tal efecto. La prueba será a misma para todos los alumnos de la materia.

A lo largo del curso se podrá realizar ejercicios calificables en las clases. La evaluación continua consistirá en la resolución individual de tareas (una o dos en el curso) y pruebas (una o dos en el curso), pruebas que pudieran coincidir o no para los distintos grupos pero estarán coordinadas y serán similares.

Para el cómputo de la calificación final (F) se tendrá en cuenta la evaluación continua (C) y la calificación del examen final (E) y se aplicará la siguiente fórmula:

F= máx (E, 0.25*C+0.75*E)

Estas mismas porcentajes serán también de aplicación en el período extraordinario de Julio.

Las pruebas escritas contendrán preguntas de teoría, cuestiones teórico-prácticas y ejercicios, con objeto de evaluar los conocimientos y competencias adquiridas.

Se considerará "no presentado" el estudiante que no acuda a ninguna de las dos oportunidades correspondientes.

Para los casos de realización fraudulenta de ejercicios o pruebas será de aplicación lo recogido en la Normativa de Evaluación del rendimiento académico de los estudiantes y de revisión de calificaciones.

Horas presenciales:
- Clases expositivas: 28 horas.
- Clases interactivas de seminario: 14 horas.
- Clases interactivas de laboratorio: 14 horas.
Tutorías en grupo muy reducido: 2 horas.
Total horas presenciales: 58

Horas de trabajo personal del alumno:
- Estudio autónomo individual o en grupo: 47 horas.
- Escritura de ejercicios, conclusiones u otros trabajos: 45 horas.


Total volumen de trabajo: 150 horas.

Asistencia continuada a las clases. Trabajar individual o colectivamente todas y cada una de las cuestiones indicadas en las clases. Aprovechar las tutorías tan pronto como surjan dificultades.