Introducción al Análisis Matemático

Introducir al alumno, con apoyo esencial de ejemplos y práctica, en la comprensión de la primera estructura del Análisis Matemático: el cuerpo ordenado y completo de los números reales.

Introducir y consolidar, con ejemplos y ejercicios, las nociones de convergencia de sucesiones y series numéricas.

Presentar, practicando con las distintas notaciones, las operaciones con los números complejos.

1. NÚMEROS REALES (aprox. 8 clases expositivas)
1.1 Números naturales. Principio de inducción.
1.2 Números racionales. Numerabilidad.
1.3 Axiomática de los números reales (R). Axioma del supremo y consecuencias.
1.4 Propiedad arquimediana de R. Densidad de Q en R. Topología de la recta real.

2. SUCESIONES DE NÚMEROS REALES (aprox. 10 clases expositivas)
2.1 Introducción intuitiva a los conceptos de sucesión y límite. Generalidades.
2.2 Sucesiones convergentes y sus límites. Propiedades.
2.3 Límites infinitos.
2.4 Convergencia y divergencia de sucesiones monótonas.
2.5 Subsucesiones. Teorema de Bolzano-Weierstrass. Límites de oscilación.
2.6 Sucesiones de Cauchy. Completitud de R.
2.7 Cálculo de límites. Criterios de Stirling y Stolz.

3. SERIES DE NÚMEROS REALES (aprox. 8 clases expositivas)
3.1 Introducción intuitiva a los conceptos de serie y su suma.
3.2 Series numéricas. Convergencia de series.
3.3 Series de términos no negativos. Criterios de convergencia.
3.4 Convergencia absoluta y condicional. Criterios de convergencia no absoluta.
3.5 Expresión decimal en R y otros sistemas de numeración.

4. NÚMEROS COMPLEJOS (aprox. 2 clases expositivas)
4.1 Números complejos. Expresiones, operaciones y raíces de los números complejos.
4.2 Forma exponencial y sus consecuencias: potencias, raíces y fórmulas de Euler y de Moivre.

BÁSICA:

[1] T.M. Apostol. Análisis Matemático (2ª Ed.). Reverté, 1979.

[2] R.G. Bartle y D.R. Sherbert. Introducción al Análisis Matemático de una Variable (3ª Ed.). Limusa Wiley, 2010.

[3] R. Figueroa Sestelo y Ó.A. Otero Zarraquiños. Números reais. Universidade de Santiago de Compostela, 2022.

[4] R. Figueroa Sestelo y Ó.A. Otero Zarraquiños. Números complexos. Universidade de Santiago de Compostela, 2022.

[5] R. Figueroa Sestelo y Ó.A. Otero Zarraquiños. Series de números reais. Universidade de Santiago de Compostela, 2022.

[6] R. Figueroa Sestelo y Ó.A. Otero Zarraquiños. Sucesións de números reais. Universidade de Santiago de Compostela, 2022.

COMPLEMENTARIA:

[1] S. Behar Jequín, R. Roldán Inguanzo y A. Arredondo Soto. Análisis matemático real: ejercicios y problemas. Universidad de La Habana, 2021.
https://elibro-net.ezbusc.usc.gal/es/lc/busc/titulos/196988

[2] J. Casasayas y M.C. Cascante. Problemas de Análisis Matemático de una variable real. Edunsa, 1990.

[3] A. García López et al. Cálculo I. Teoría y problemas de Análisis Matemático en una variable (2ª Ed.). Clagsa, 1994.

[4] R. Magnus. Fundamental Mathematical Analysis. Springer Cham, 2020.
https://link.springer.com/book/10.1007/978-3-030-46321-2

[5] T. Radozycki. Solving problems in Mathematical Analysis, Part I. Springer Nature, 2020.
https://link.springer.com/book/10.1007/978-3-030-35844-0

[6] B.S.W. Schröder. Mathematical Analysis: A Concise Introduction, John Wiley & Sons, 2007.
https://onlinelibrary.wiley.com/doi/book/10.1002/9780470226773

[7] M. Spivak. Calculus (2ª Ed.). Reverté, 1994.

Además de contribuir a alcanzar las competencias básicas, generales y transversales recogidas en la Memoria del Título de Grado en Matemáticas de la Universidad de Santiago de Compostela (USC), y que pueden consultarse en http://www.usc.es/export/sites/default/gl/servizos/sxopra/memorias_grao…, esta materia permitirá alcanzar las siguientes competencias específicas

CE1 - Comprender y utilizar el lenguaje matemático;
CE2 - Conocer demostraciones rigurosas de algunos teoremas clásicos en distintas áreas de la Matemática;
CE3 - Idear demostraciones de resultados matemáticos, formular conjeturas e imaginar estrategias para confirmarlas o refutarlas;
CE4 - Identificar errores en razonamientos incorrectos, proponiendo demostraciones o contraejemplos;
CE5 - Asimilar la definición de un nuevo objeto matemático, relacionarlo con otros ya conocidos, y ser capaz de utilizarlo en diferentes contextos;
CE6 - Saber abstraer las propiedades y hechos sustanciales de un problema, distinguiéndolas de aquellas puramente ocasionales o circunstanciales.

Se seguirán las indicaciones metodológicas generales establecidas en la Memoria del Título de Grado en Matemáticas de la USC.

La docencia está programada en clases teóricas, prácticas en grupo reducido y tutorías.

En las clases teóricas se presentarán los contenidos esenciales de la disciplina, y permitirán el trabajo de las competencias básicas, generales y transversales, además de las competencias específicas CE1, CE2, CE5 y CE6. Por su parte, en las sesiones interactivas se propondrán problemas o ejercicios de realización más autónoma, y que permitirán hacer énfasis en la adquisición de las competencias específicas CE3 y CE4, así como en las competencias transversales CT1, CT2, CT3 y CT5. Por último, las tutorías se dedicarán a la discusión y debate con los estudiantes, y a la resolución de las tareas propuestas con las que se pretende que los estudiantes practiquen y afiancen los conocimientos y las competencias transversales anteriormente citadas.

La docencia expositiva e interactiva será presencial y se complementará con el curso virtual de la materia, en el que el alumnado encontrará material docente como apuntes, boletines de problemas, etc.

Las tutorías serán presenciales o a través del correo electrónico o de MS Teams.

La evaluación se realizará combinando una evaluación continua formativa con una prueba final.

La evaluación continua consistirá en una prueba de carácter teórico-práctico y al menos una entrega de una actividad breve realizada en clase.

En la prueba entrarán los contenidos de los temas 1 y 2 y tendrá un peso del 70% dentro de la nota de la evaluación continua. Las actividades realizadas en clase tendrán un peso del 30% de la calificación de la evaluación continua.

En el examen final escrito, se medirá el conocimiento conseguido por el alumnado en relación a los conceptos y resultados de la materia, tanto desde el punto de vista teórico como práctico, valorando también la claridad y el rigor lógico mostrado en la exposición de los mismos.

Tanto en la evaluación continua como en el examen final se evaluarán las competencias específicas desde la CE1 hasta la CE6.

Para el cómputo de la calificación final (CF) se tendrán en cuenta la calificación de la evaluación continua (EC) y la calificación del examen final (EF), y se aplicará la fórmula CF = EC/3 + (1-EC/30)*EF. Para detalles de esta formulación puede consultarse el trabajo:
Xavier Bardina, Eduardo Liz, "Matemáticas y evaluación", MATerials MATemàtics, 2011, 6, 19 pp.
http://www.mat.uab.cat/matmat/PDFv2011/v2011n06.pdf

Las pruebas de evaluación continua podrán no coincidir para los dos grupos expositivos, pero, en cualquier caso, los profesores de ambos grupos se coordinarán para garantizar la equivalencia formativa de todo el alumnado de la asignatura. La prueba final de cada oportunidad será la misma en los dos grupos expositivos.

Se entenderá como no presentado todo/a estudiante que no haya realizado el examen final.

En la segunda oportunidad se utilizará el mismo sistema de evaluación, pero con la prueba correspondiente a la segunda oportunidad, que será un examen del mismo tipo que el de la primera.

Advertencia. Para los casos de realización fraudulenta de ejercicios o pruebas (plagios o uso indebido de las tecnologías) será de aplicación lo recogido en la Normativa de evaluación del rendimiento académico de los estudiantes y de revisión de calificaciones.

TRABAJO PRESENCIAL EN EL AULA
Clases expositivas (28 horas)
Clases interactivas de seminario (14 horas)
Clases interactivas de laboratorio (14 horas)
Tutorías en grupos muy reducidos (2 horas)
Total de horas de trabajo presencial en el aula: 58

TRABAJO PERSONAL DEL ALUMNO
Estudio autónomo individual o en grupo (57 horas)
Escritura de ejercicios, conclusiones u otros trabajos (20 horas)
Programación/experimentación u otros trabajos en ordenador/laboratorio (10 horas)
Lecturas recomendadas, actividades en biblioteca o similar (5 horas)
Total de horas de trabajo personal del alumno: 92

Estudiar diariamente utilizando material bibliográfico. Leer atenta y cuidadosamente la parte teórica hasta asimilarla y, a continuación, dar respuesta a las cuestiones, ejercicios o problemas correspondientes. Seguir las indicaciones que pueda dar el profesor a lo largo del curso.