Análisis Numérico Matricial

El estudio y la aplicación de métodos numéricos para la resolución de sistemas de ecuaciones lineales (con una introducción a métodos para sistemas no lineales) y el cálculo de autovalores y autovectores de una matriz. Además, en las clases de laboratorio, se pondrán en práctica en un ordenador los algoritmos estudiados, mediante la elaboración de los correspondientes programas en FORTRAN 90 o MATLAB.

Temario (con indicación de las horas de clase expositiva que se dedican a cada tema)
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Tema 1.-Presentación de la materia -1 hora-.
Importancia de los grandes sistemas de ecuaciones lineales y del cálculo de autovalores en problemas reales de investigación e innovación científica y técnica. Programa de la asignatura. Metodología a seguir.

Tema 2.- Generalidades sobre matrices (repaso). – 4 horas –
Operaciones con matrices. Operaciones por bloques. Determinantes. Inversas. Tipos especiales de matrices: triangulares, tridiagonales, hermitianas, simétricas, unitarias, ortogonales, definidas positivas, de permutación, diagonal dominantes, teorema de Hadamard. Autovalores y autovectores: radio espectral, localización de autovalores, teorema de Gerschgorin, semejanza y reducción de matrices, teorema de Schur (enunciado), diagonalización, cociente de Rayleigh. Matrices dispersas. Almacenamiento perfil.

Tema 3.- Generalidades sobre los métodos de resolución de S.E. L.– 2 horas -
Sistemas de ecuaciones lineales ( S.E. L.): existencia y unicidad de solución. Grandes sistemas y coste operacional de los métodos. Métodos directos y métodos iterativos. Sistemas fáciles de resolver: sistemas triangulares y permutables a triangulares (método de descenso y remonte). Clasificación de los métodos directos: métodos de transformación (eliminación y ortogonalización) y métodos de factorización ( LU, Cholesky y QR). Aplicación al cálculo de la inversa de una matriz y al cálculo de determinantes.

Tema 4.- Método de eliminación de Gauss y variantes para S.E. L. – 5 horas -
Método de eliminación de Gauss sin pivote: proceso, fórmulas, coste operacional, bases de codificación, interpretación matricial, condiciones suficientes, relación con la factorización A= LU y el método asociado. Fórmulas de Doolitle para cálculo directo de L y U. Conservación del perfil.: aplicación a matrices tridiagonales. Método de Gauss con pivote parcial: proceso, fórmulas, bases de codificación, interpretación matricial, relación con la factorización PA = LU y el método asociado.

Tema 5.- Método de Choslesky para S.E. L con matriz simétrica y definida positiva – 2 horas -
Factorización de Cholesky A= BB^T y método asociado para S.E. L: existencia, fórmulas, coste operacional, conservación del perfil, aplicación a matrices tridiagonales, bases de codificación.

Tema 6.- Método de eliminación de Householder – 2 horas -
Matrices de Householder elementales. Método de eliminación de Householder: proceso, fórmulas, coste operacional, bases de codificación, interpretación matricial, relación con la factorización A= QR.

Tema 7.- Normas y condicionamiento de matrices – 2 horas –
Normas de matrices como vectores. Normas subordinadas y compatibles con normas vectoriales. Ejemplos importantes: norma de Schur, norma 1, norma infinito, norma 2. Convergencia de sucesiones de matrices. Condicionamiento de un sistema lineal y efecto sobre la propagación de errores.

Tema 8.- Métodos iterativos para S.E. L. – 3 horas –
Métodos iterativos consistentes y convergentes. Caracterización de la convergencia. Métodos iterativos asociados a una descomposición A= M- N (Richardson, Jacobi, Gauss- Seidel y relajación): descripción, fórmulas, bases de codificación, condiciones suficientes de convergencia (casos de matrices diagonal dominantes y simétricas definidas positivas).

Tema 9.- Aproximación numérica de autovalores y autovectores - 4 horas –
Idea general y clasificación de los métodos. Método de la potencia iterada con variantes de Rayleigh para autovalor dominante: descripción, bases de codificación, convergencia. Método de la potencia inversa: descripción, bases de codificación, convergencia. Método de transformación de Householder y método de factorización QR.

Tema 10.- Métodos iterativos para sistemas de ecuaciones no lineales – 2 horas –
Idea general sobre los métodos iterativos. Métodos de punto fijo, Newton y Newton discretizado: descripción, bases de codificación, idea de la convergencia.

Bibliografía básica
CIARLET, P. G. [1999]: Introducción á análise numérica matricial e á optimización. Servicio de Publicacións da USC.
ORTEGA, J. M. [1990]: Numerical análisis: a second course. SIAM.
KINCAID, D. - CHENEY, W. [1994]: Análisis numérico: las matemáticas del cálculo científico. Addison-Wesley Iberoamericana.
STEWART, D.E. [2023]: Numerical Analysis: A Graduate Course. Springer. - Disponible en linea.
STOER, J. - BULIRSCH, R. [1993]: Introduction to numerical analysis. 2nd ed. Springer-Verlag. -Disponible en línea
VIAÑO, J.M.[2022]: Análisis Numérico Matricial. Notas de Curso. USC. - Disponible en línea en el curso virtual


Bibliografía complementaria
ATKINSON, K. E. - HAN, W. [2004]: Elementary numerical analysis. John Wiley and sons.
AUBANELL, A. - BENSENY, A. - DELSHAMS, A. [1991]: Eines bàsiques de càlcul numeric: amb 87 problemes results. Manuals de la Universitat Autònoma de Barcelona.
GANDER, W. – GANDER M. J. – KWOK, F. [2014]: Scientific computing – An introduction using MAPLE and MATLAB. Springer.
GOLUB, G. H. - VAN LOAN, C. [2013]: Matrix computations. 4th ed. The Johns Hopkins University Press.
HEATH, M. T. [2005]: Scientific computing: an introductory survey. 2nd ed. McGraw Hill.
HORN, R. A. - JOHNSON, C. R. [2013]: Matrix analysis. 2nd ed. Cambridge University Press.
METCALF, M. - REID, J. - COHEN M. [2004]: Fortran 95/2003 explained. Oxford University Press.
QUARTERONI, A. [2003]: Scientific computing with MATLAB. Springer.
QUARTERONI, A. - SACCO, R. - SALERI, F. [2000]: Numerical mathematics. Springer.
TREFETHEN, Ll. N. - BAU, D. [1997]: Numerical linear algebra. SIAM.
WATKINS, D. S. [2010]: Fundamentals of matrix computations. 3rd ed. Wiley.

Las recogidas en la Memoria de Verificación de Título do Grao en Matemáticas. Disponible en:
http://www.usc.es/export9/sites/webinstitucional/gl/servizos/sxopra/mem…
En el siguiente apartado se indican las competencias trabajadas con mayor énfasis según el tipo de sesión.

- Clases expositivas ( CG1, CT5, CE1, CE2).
- Clases interactivas de laboratorio (CE8, CE9).
- Tutorías ( CG3, CG4, CT3, CE4).
- A lo largo del cuatrimestre, se propondrá un boletín por cada tema de teoría que incluirá programación en ordenador (en Matlab y Fortran 90) y ejercicios relacionados con la teoría, con el fin de que los estudiantes afiancen los conocimientos adquiridos en la materia y las habilidades de programación de los métodos.
- Los estudiantes dispondrán de un Curso Virtual, con notas y material diverso como complemento de la docencia presencial.

La docencia expositiva e interactiva será presencial y se complementará con el curso virtual de la materia, en la que el alumnado encontrará materiales bibliográficos diversos. El alumnado realizará tareas para la evaluación continua, como se describe en el apartado correspondiente. Las tutorías serán presenciales o a través del correo electrónico.

Para el cálculo de la calificación final (CF), se tendrán en cuenta la calificación del examen (EF) y la calificación de evaluación continua (AC).
- El examen tiene una puntuación global de 10 puntos (EF) y se llevará a cabo en las dos sesiones siguientes:
1. Examen final escrito (teoría, cuestiones y problemas), calificado sobre 7.5 puntos
2. Examen final práctico (programación en FORTRAN 90 o MATLAB), calificado sobre 2.5 puntos.
- La evaluación continua también tiene una puntuación global de 10 puntos (AC), resultante de los dos controles realizados dentro del horario reservado a la materia.
Para obtener la calificación final, se aplicará la fórmula: CF = máx {EF, 0.7 * EF + 0.3 * AC}
La nota AC se agregará en el caso de que las ausencias injustificadas en las sesiones en grupos de laboratorio no excedan el 10% y se mantendrán para la segunda oportunidad de evaluación.

Las pruebas de evaluación serán idénticas para los distintos grupos.

Los mismos instrumentos permiten evaluar las competencias temáticas especificadas anteriormente.

Para los casos de realización fraudulenta de ejercicios o pruebas (plagio o mal uso de tecnologías) se aplicarán las disposiciones del "Reglamento para la evaluación del rendimiento académico de los estudiantes" y la revisión de calificaciones.

Clases expositivas: 28
Clases interactivas de laboratorio: 28
Tutorías: 2

Total horas trabajo con el profesor: 58

Estudio autónomo individual o en grupo: 30
Programación/experimentación u otros trabajos en ordenador/laboratorio: 52
Escritura de ejercicios, conclusiones u otros trabajos: 10

Total horas trabajo personal: 92

- Estudio diario de los contenidos tratados en las clases, complementados con el curso virtual y la bibliografía recomendada.
- Resolución de los ejercicios y programación de los algoritmos propuestos en los boletines, para lo cual se dispone de las aulas de informática de la Facultad.
- Uso de las horas de tutoría de los profesores para resolver todo tipo de dudas sobre la materia.