Topología de los Espacios Euclidianos

El estudio de la topología de la recta real se inició en la materia de "Introdución al Análisis Matemático" y, en referencia a la continuidad, se desarrolla en la materia "Continuidad y derivabilidad de funciones de una variable real". Ahora, en esta asignatura, se aborda el estudio de la topología no solamente de la recta real, sino también de los espacios euclidianos de cualquier dimensión. Además, se hará un tratamiento más sistemático de las cuestiones consideradas.

Los principales objetivos son:

• Estudiar conceptos, métodos y propiedades métricas y, fundamentalmente, topológicas en R^n, partiendo de su estructura euclidiana.

• Aplicar las técnicas de convergencia de sucesiones al estudio de propiedades relacionadas con la topología. Estudiar la completitud.

• Estudiar la continuidad de funciones en el ámbito de los espacios euclidianos. Identificar funciones continuas, o discontinuidades de funciones. Describir funciones geométricamente. Dar ejemplos de funciones que ilustren propiedades diversas. Expresar analíticamente transformaciones geométricas sencillas.

• Comprender los conceptos de conexidad y compacidad. En su expresión más sencilla, un resultado típico dirá que toda función real continua con dominio un intervalo cerrado alcanza el máximo, el mínimo y cualquier valor intermedio; se observará que las únicas propiedades necesarias del intervalo son la conexidad y la compacidad. Es una muestra de uno de los aspectos más característicos de la matemática: como la solución de problemas, a veces de formulación simple, requiere a menudo de teorías muy abstractas.

Tema 1 Los espacios euclianos (4 horas expositivas)
1.1 Producto escalar y norma euclidiana
1.2 Desigualdades de Cauchy-Schwarz y de Minkowski
1.3 Distancia euclidiana. Propiedades; la desigualdad triangular
1.4 Bolas abiertas
1.5 Distancia entre conjuntos. Conjuntos acotados. Diámetro

Tema 2 La topología del espacio euclidiano (4 horas expositivas)
2.1 Definición de conjunto abierto
2.2 Propiedades características de los conjuntos abiertos
2.3 Conjuntos cerrados
2.4 Espacios y subespacios. Abiertos relativos

Tema 3 Convergencia y completitud (4 horas expositivas)
3.1 Sucesiones. Sucesiones convergentes. Subsucesiones
3.2 Convergencia y topología
3.3 Sucesiones de Cauchy
3.4 Completitud del espacio euclidiano

Tema 4 Continuidad (8 horas expositivas)
4.1 Definición de continuidad
4.2 Caracterizaciones globales de la continuidad
4.3 Continuidad secuencial
4.4 Función combinada
4.5 Homeomorfismos
4.6 Propiedades topológicas

Tema 5 Conexión (4 horas expositivas)
5.1 Conjuntos conexos
5.2 Conexión y continuidad
5.3 Conjuntos conexos por caminos

Tema 6 Compacidad (4 horas expositivas)
6.1 Compacidad
6.2 Compacidad y continuidad
6.3 Caracterización de los conjuntos compactos en el espacio euclidiano (Teorema de Heine-Borel)

Bibliografía básica:

Curso en el campus virtual, también accesible en http://xtsunxet.usc.es/carlos/topoloxia1/

MASA VÁZQUEZ, X.M. Curso de topoloxía: dos números reais ao Grupo de Poincaré. USC Editora. Manuais, Universidade de Santiago de Compostela, 2020. (Edición revisada y actualizada del manual de 1999)

MASA VÁZQUEZ, X.M. Topoloxía xeral. Introducción aos espazos euclidianos, métricos e topolóxicos. Manuais universitarios, Universidade de Santiago de Compostela, 1999.


Bibliografía complementaria:

BARTLE, R.G. Introducción al Análisis Matemático. Ed. Limusa. México, 1980.

BUSKES, G. AND VAN ROOIJ, A. Topological spaces. Springer, 1996.
https://link.springer.com/book/10.1007/978-1-4612-0665-1

CHINN, W.G. and STEENROOD, N.E. Primeros conceptos de Topología. Ed. Alhambra, 1975.

SUTHERLAND, W.A. Introduction to metrics and topological spaces. Clarendon Press. Oxford, 1975.

En este curso se pretende contribuir a mejorar las competencias básicas, generales y transversales del Grado de Matemáticas. Además se trabajarán las siguientes competencias ESPECÍFICAS del grado:

CE1 - Comprender y utilizar el lenguaje matemático.

CE2 - Conocer demostraciones rigurosas de algunos teoremas clásicos en distintas áreas de la Matemática.

CE3 - Idear demostraciones de resultados matemáticos, formular conjeturas e imaginar estrategias para confirmarlas o negarlas.

CE4 - Identificar errores en razonamientos incorrectos proponiendo demostraciones o contraejemplos.

CE5 - Asimilar la definición de un nuevo objeto matemático, relacionarlo con otros ya conocidos, y ser capaz de utilizarlo en diferentes contextos.

CE6 - Saber abstraer las propiedades y hechos sustanciales de un problema, distinguiéndolas de aquellas puramente ocasionales o circunstanciales.

El trabajo en el aula con un grupo grande consiste, fundamentalmente, en docencia impartida por el profesor. De ordinario, se dedicará una parte del tiempo a la exposición de cuestiones teóricas, y otra parte a la ilustración con ejemplos y al planteamiento de problemas o ejercicios. Se procurará la implicación de todo el alumnado en la discusión de las cuestiones suscitadas.

En la docencia presencial en grupos reducidos (de seminario) se propondrán y resolverán cuestiones teórico-prácticas y ejercicios. En la docencia en grupos más reducidos (de laboratorio) se dará preferencia a la participación de los estudiantes y a aclarar dudas sobre teoría, problemas y ejercicios.

Las tutorías en grupos muy reducidos se dedicarán, de forma individual o en grupos, a resolver las dudas y dificultades particulares que vayan apareciendo, y al seguimiento individualizado de cada estudiante.

Habrá un curso virtual, donde aparecen detallados todos los aspectos teóricos de la materia y ejercicios resueltos. Periódicamente, se entregarán al alumnado boletines de ejercicios y cuestiones a través del curso virtual.

La docencia expositiva y la interactiva serán de carácter presencial. Las tutorías pueden ser presenciales o realizarse de modo virtual. La comunicación con el alumnado, además de presencial, también se podrá hacer a través de los foros del curso virtual y del correo electrónico.

Habrá un doble método de evaluación: la evaluación continua, basada en las pruebas realizadas en clase y la participación, y la evaluación puntual, mediante una prueba final escrita, el examen, fijado en el calendario de la facultad. La calificación final se obtendrá por la siguiente fórmula, donde AC indica la calificación de la evaluación continua y EF la del examen final:

máx{ 0,3 AC + 0,7 EF, EF }.

La evaluación continua consistirá en una prueba que se realizará en clase en la que cada estudiante deberá resolver el ejercicio que se le indique; la participación en las clases expositivas e interactivas, así como en las tutorías, podrá ser valorada con hasta + 1 punto. El examen final tendrá una parte de teoría, que puede abarcar la definición de conceptos, el enunciado de resultados o su demostración total o parcial. La otra parte consistirá en la resolución de ejercicios, que serán análogos a los propuestos a lo largo del curso. Cada una de las partes (teoría-ejercicios) tendrá un peso de entre un 40% y un 60% del total.

La calificación obtenida en la evaluación continua será aplicable en cada una de las dos oportunidades de un mismo curso académico (segundo semestre y julio).
Si el/la alumno/a no se presenta al examen fijado por la facultad en ninguna de las dos oportunidades tendrá la calificación de “No presentado”, aún cuando haya participado en la evaluación continua.

La evaluación será equivalente en ambos grupos, aunque las pruebas no serán necesariamente las mismas.

Además de las competencias específicas, se evaluarán las competencias generales CG1 (Conocer los conceptos, métodos y resultados más importantes), CG3 (Aplicar tanto los conocimientos teóricos-prácticos adquiridos como la capacidad de análisis y de abstracción en la definición y planteamiento de problemas y en la búsqueda de sus soluciones) y CG4 (Comunicar –por escrito--conocimientos, procedimientos, resultados e ideas).

Clases expositivas: 28 horas
Clases de seminario: 14 horas
Clases de laboratorio: 14 horas
Tutorías en grupos muy reducidos: 2 horas
Actividades de evaluación: 5 horas
Tiempo de trabajo personal no presecial: 87 horas

Total: 150 horas

En el curso se dedica mucho tiempo a la resolución de ejercicios. Obviamente, se considera un aspecto fundamental en el aprendizaje de la materia. Esto no debe conducir a pensar que la teoría tiene menos importancia: bien al contrario, la teoría es la piedra angular de la formación. Habrá que manejar cierto número de definiciones y resultados, que se tendrán que asimilar en un período breve de tiempo. Las demostraciones de los resultados ayudan a comprenderlos mejor y permiten familiarizarse con las técnicas más importantes; deben constituir uno de los componentes fundamentales del estudio de la materia. El otro, ciertamente, será el empeño en la resolución de los ejercicios.

Para el caso de realización fraudulenta de ejercicios o pruebas será de aplicación lo recogido en la "Normativa de evaluación del rendimiento académico de los estudiantes y revisión de calificaciones".