Análise Numérica de Ecuacións en Derivadas Parciais

1. Completar a formación nos métodos de diferenzas finitas e dar a coñecer o método de elementos finitos para a resolución numérica de ecuacións en derivadas parciais.
2. Comprobar as propiedades e o funcionamento dos métodos mediante programación en ordenador.

1. Diferenzas finitas (DESDE O PRINCIPIO DO CURSO ATA PRINCIPIOS DE NOVEMBRO, APROXIMADAMENTE 14 HORAS EXPOSITIVAS).

Deseño e implementación de métodos de diferenzas finitas para ecuacións en derivadas parciais (EDP). Conceptos básicos da súa análise: consistencia, orde, estabilidade e converxencia.

- EDP PARABÓLICAS E HIPERBÓLICAS UNIDIMENSIONAIS EN ESPAZO: ecuación da calor (4 HORAS: método explícito, método implícito, theta-métodos, Crank-Nicolson), ecuación do transporte (4 HORAS: esquemas explícitos: FTFS, FTBS, Lax-Wendroff; esquemas implícitos: BTFS, BTBS, BTCS), ecuación de ondas (4 HORAS: explícito estándar, esquemas O(k^2) + O(h^4), theta-métodos, Crank-Nicolson).

- EDP ELÍPTICAS BIDIMENSIONAIS EN ESPAZO (2 HORAS): problema de Dirichlet para a ecuación de Poisson (esquema estándar con molécula computacional de 5 puntos).

As clases de laboratorio dedicaranse á programación dalgúns destes métodos.

2. Elementos finitos (DESDE PRINCIPIOS DE NOVEMBRO ATA O FINAL DO CURSO, APROXIMADAMENTE 14 HORAS EXPOSITIVAS).

- Concepto de derivada no sentido das distribucións. Espazos H^1 (a,b) e H_0^1 (a,b). Lema de Lax-Milgram. (2 HORAS.)

- Método de elementos finitos (MEF) nunha dimensión espacial (resolución do problema de Sturm-Liouville con diferentes tipos de condicións de contorno mediante o MEF Lagrange P_k): formulación variacional, discretización segundo o MEF Lagrange P_k, formulación matricial e ensamblado no caso k=1. (10 HORAS.)

- Formulación variacional dun problema elíptico bidimensional. (2 HORAS.)

Ao igual que na primeira parte do curso, as clases de laboratorio dedicaranse á programación dalgúns destes métodos.

Bibliografía básica:

1. ISERLES, A. (2008, segunda edición) A first course in the numerical analysis of differential equations. Cambridge Texts in Applied Mathematics. Cambridge University Press, Cambridge. [Primeira edición: 1997.] Dispoñible en liña.
2. JOHNSON, C. (1987) Numerical solution of partial differential equations by the finite element method. Cambridge University Press, Cambridge.
3. KRIZEK, M.; NEITTAANMÄKI, P. (1990) Finite element approximation of variational problems and applications. Longman Scientific and Technical, Harlow (UK).
4. RAVIART, P.-A.; THOMAS, J.-M. (1983) Introduction à l'ánalyse numérique des équations aux dérivées partielles. Masson, Paris.
5. STRIKWERDA, J. CH. (2004, segunda edición) Finite difference schemes and partial differential equations. SIAM, Philadelphia, PA. [Primeira edición: 1989 en Wadsworth & Brooks/Cole, Pacific Grove, CA.]
6. VIAÑO REY, J. M.; FIGUEIREDO, J. (2000) Implementação do método de elementos finitos. Notas.

Bibliografía complementaria:

1. CIARLET, PH. G. (1991) Basic error estimates for elliptic problems. En Handbook of Numerical Analysis, vol. II, pp. 17—351. Editores: J. L. Lions e Ph. G. Ciarlet. North-Holland, Amsterdam.
2. GODUNOV, S. K.; RYABENKII, V. S. (1987) Difference schemes: an introduction to the underlying theory. North-Holland, Amsterdam.
3. LEVEQUE, R. J. (2007) Finite difference methods for ordinary and partial differential equations: steady-state and time-dependent problems. SIAM, Philadelphia, PA.
4. THOMAS, J. W. (1995) Numerical partial differential equations: finite difference methods. Springer, New York, NY. Dispoñible en liña.
5. THOMAS, J. W. (1999) Numerical partial differential equations: conservation laws and elliptic equations. Springer, New York, NY. Dispoñible en liña.

Competencias específicas da materia:

1. Coñecer as técnicas básicas de obtención de esquemas en diferenzas finitas para ecuacións en derivadas parciais (EDP).
2. Coñecer os esquemas en diferenzas finitas máis usuais para as ecuacións en derivadas parciais.
3. Asimilar os conceptos fundamentais da análise dos esquemas numéricos para EDP: consistencia, orde, estabilidade e converxencia.
4. Coñecer os fundamentos teórico-prácticos do método de elementos finitos para problemas de contorno de EDP: formulacións débiles, ecuacións variacionais, análise da existencia de solución, discretización, mallados, implementación e erro.
5. Ser capaz de implementar os métodos estudados empregando algunha linguaxe de programación.
6. Utilizar software comercial/académico para resolver problemas cos métodos estudados.
7. Poñer en práctica, validar e avaliar criticamente os resultados obtidos cos métodos estudados.

As competencias anteriores, así como as descritas na páxina 5 da memoria da titulación no enlace
https://www.usc.es/export9/sites/webinstitucional/gl/servizos/sxopra/me…,
trabállanse na aula e avalíanse segundo o sistema descrito no apartado “Sistema de avaliación da aprendizaxe”.

Clases expositivas.
Clases interactivas de laboratorio.
Titorías.

Todas as notas (AC, PP, OP, AF, EX, PPnova e CF) deben ser entendidas na escala 0-10.

O sistema de avaliación contempla, por unha banda, unha avaliación continua e, por outra, unha avaliación final.

A avaliación continua (AC) consiste no control das prácticas de programación (PP) e, de ser o caso, doutras probas de coñecemento (OP), dúas como máximo, que se efectuarían dentro do horario reservado para a materia. O valor de AC calcúlase mediante a fórmula seguinte:

AC = 0.80*PP + 0.20*OP se se fan probas distintas das prácticas de programación;
AC = PP noutro caso.

O número de actividades puntuables para a AC non é superior a 3.

A nota de AC pode conservarse para a segunda oportunidade de avaliación.

A avaliación final (AF) faise mediante un exame escrito (EX), que se realiza nas datas previstas oficialmente. O valor de AF calcúlase como segue:

** Se PP >= 3, AF = EX.
** Se PP é menor que 3, ao exame escrito engádeselle algunha pregunta relacionada coas prácticas de programación (PPnova), e AF = max{EX,0.70*EX+0.30*PPnova}, salvo no caso que se especifica a continuación: posto que esta materia ten que dar competencias en programación, o valor de AF limítase a un máximo de 4 puntos se PPnova é menor que 3.

A cualificación final (CF) calcúlase mediante a fórmula seguinte: CF = max{AF,0.70*AF+0.30*AC}.

A segunda oportunidade de avaliación rexerase polo mesmo sistema que a primeira.

** Traballo presencial na aula (asistencia a clases e participación nelas) = 58 horas.
Clases expositivas: 28.
Clases interactivas de laboratorio: 28.
Titorías: 2.

** Traballo persoal (estudo autónomo, realización de exercicios, programación, lecturas recomendadas) = 92 horas.

- Manter actualizado o coñecemento dos contidos explicados na clase.
- Facer os exercicios e programas propostos.
- Comezar a facer as prácticas desde a primeira sesión.
- Consultar todas as dúbidas co profesor.

As prácticas de programación faranse en MATLAB®.

Para os casos de realización fraudulenta de exercicios ou probas será de aplicación o recollido na "Normativa de avaliación do rendemento académico dos estudantes e de revisión de cualificacións" da USC.