Análisis Numérico de Ecuaciones en Derivadas Parciales

1. Completar la formación en los métodos de diferencias finitas y dar a conocer el método de elementos finitos para la resolución numérica de ecuaciones en derivadas parciales.
2. Comprobar las propiedades y el funcionamiento de los métodos mediante programación en ordenador.

1. Diferencias finitas (DESDE EL PRINCIPIO DEL CURSO HASTA PRINCIPIOS DE NOVIEMBRE, APROXIMADAMENTE 14 HORAS EXPOSITIVAS).

Diseño e implementación de métodos de diferencias finitas para ecuaciones en derivadas parciales (EDP). Conceptos básicos de su análisis: consistencia, orden, estabilidad y convergencia.

- EDP PARABÓLICAS E HIPERBÓLICAS UNIDIMENSIONALES EN ESPACIO: ecuación del calor (4 HORAS: método explícito, método implícito, zeta-métodos, Crank-Nicolson), ecuación del transporte (4 HORAS: esquemas explícitos: FTFS, FTBS, Lax-Wendroff; esquemas implícitos: BTFS, BTBS, BTCS), ecuación de ondas (4 HORAS: explícito estándar, esquemas O(k^2) + O(h^4), zeta-métodos, Crank-Nicolson).

- EDP ELÍPTICAS BIDIMENSIONALES EN ESPACIO (2 HORAS): problema de Dirichlet para la ecuación de Poisson (esquema estándar con molécula computacional de 5 puntos).

Las clases de laboratorio se dedicarán a la programación de algunos de estos métodos.

2. Elementos finitos (DESDE PRINCIPIOS DE NOVIEMBRE HASTA EL FINAL DEL CURSO, APROXIMADAMENTE 14 HORAS EXPOSITIVAS).

- Concepto de derivada en el sentido de las distribuciones. Espacios H^1 (a,b) y H_0^1 (a,b). Lema de Lax-Milgram. (2 HORAS.)

- Método de elementos finitos (MEF) en una dimensión espacial (resolución del problema de Sturm-Liouville con diferentes tipos de condiciones de contorno mediante el MEF Lagrange P_k): formulación variacional, discretización según el MEF Lagrange P_k, formulación matricial y ensamblado en el caso k=1. (10 HORAS.)

- Formulación variacional de un problema elíptico bidimensional. (2 HORAS.)

Al igual que en la primera parte del curso, las clases de laboratorio se dedicarán a la programación de algunos de estos métodos.

Bibliografía básica:

1. ISERLES, A. (2008, segunda edición) A first course in the numerical analysis of differential equations. Cambridge Texts in Applied Mathematics. Cambridge University Press, Cambridge. [Primera edición: 1997.] Disponible en línea.
2. JOHNSON, C. (1987) Numerical solution of partial differential equations by the finite element method. Cambridge University Press, Cambridge.
3. KRIZEK, M.; NEITTAANMÄKI, P. (1990) Finite element approximation of variational problems and applications. Longman Scientific and Technical, Harlow (UK).
4. RAVIART, P.-A.; THOMAS, J.-M. (1983) Introduction à l'ánalyse numérique des équations aux dérivées partielles. Masson, Paris.
5. STRIKWERDA, J. CH. (2004, segunda edición) Finite difference schemes and partial differential equations. SIAM, Philadelphia, PA. [Primera edición: 1989 en Wadsworth & Brooks/Cole, Pacific Grove, CA.]
6. VIAÑO REY, J. M.; FIGUEIREDO, J. (2000) Implementação do método de elementos finitos. Notas.

Bibliografía complementaria:

1. CIARLET, PH. G. (1991) Basic error estimates for elliptic problems. En Handbook of Numerical Analysis, vol. II, pp. 17—351. Editores: J. L. Lions y Ph. G. Ciarlet. North-Holland, Amsterdam.
2. GODUNOV, S. K.; RYABENKII, V. S. (1987) Difference schemes: an introduction to the underlying theory. North-Holland, Amsterdam.
3. LEVEQUE, R. J. (2007) Finite difference methods for ordinary and partial differential equations: steady-state and time-dependent problems. SIAM, Philadelphia, PA.
4. THOMAS, J. W. (1995) Numerical partial differential equations: finite difference methods. Springer, New York, NY. Disponible en línea.
5. THOMAS, J. W. (1999) Numerical partial differential equations: conservation laws and elliptic equations. Springer, New York, NY. Disponible en línea.

Competencias específicas de la asignatura:

1. Conocer las técnicas básicas de obtención de esquemas en diferencias finitas para ecuaciones en derivadas parciales (EDP).
2. Conocer los esquemas en diferencias finitas más usuales para las ecuaciones en derivadas parciales.
3. Asimilar los conceptos fundamentales del análisis de los esquemas numéricos para EDP: consistencia, orden, estabilidad y convergencia.
4. Conocer los fundamentos teórico-prácticos del método de elementos finitos para problemas de contorno de EDP: formulaciones débiles, ecuaciones variacionales, análisis de la existencia de solución, discretización, mallados, implementación y error.
5. Ser capaz de implementar los métodos estudiados empleando algún lenguaje de programación.
6. Utilizar software comercial/académico para resolver problemas con los métodos estudiados.
7. Poner en práctica, validar y evaluar críticamente los resultados obtenidos con algunos de los métodos estudiados.

Las competencias anteriores, así como las descritas en la página 5 de la memoria de la titulación en el enlace
https://www.usc.es/export9/sites/webinstitucional/gl/servizos/sxopra/me…,
se trabajan en clase y se evalúan según el sistema descrito en el apartado “Sistema de evaluación”.

Clases expositivas.

Clases interactivas de laboratorio.

Tutorías.

Todas las notas (EC, PP, OP, EF, EX, PPnueva y CF) deben ser entendidas en la escala 0-10.

El sistema de evaluación contempla, por un lado, una evaluación continua y, por otra, una evaluación final.

La evaluación continua (EC) consiste en el control de las prácticas de programación (PP) y, de ser el caso, de otras pruebas de conocimiento (OP), dos como máximo, que se efectuarían dentro del horario reservado para la asignatura. El valor de EC se calcula mediante la fórmula siguiente:

EC = 0.80*PP + 0.20*OP si se hacen pruebas distintas de las prácticas de programación;
EC = PP en otro caso.

El número de actividades puntuables para la EC no es superior a 3.

La nota de EC puede conservarse para la segunda oportunidad de evaluación.

La evaluación final (EF) se hace mediante un examen escrito (EX), que se realiza en las fechas previstas oficialmente. El valor de EF se calcula como sigue:

** Si PP >= 3, EF = EX.
** Si PP es menor que 3, al examen escrito se le añade alguna pregunta relacionada con las prácticas de programación (PPnueva), y EF = max{EX,0.70*EX+0.30*PPnueva}, salvo en el caso que se especifica a continuación: puesto que esta asignatura tiene que dar competencias en programación, el valor de EF se limita a un máximo de 4 puntos si PPnueva es menor que 3.

La calificación final (CF) se calcula mediante a fórmula siguiente: CF = max{EF,0.70*EF+0.30*EC}.

La segunda oportunidad de evaluación se regirá por el mismo sistema que la primera.

+Trabajo presencial en el aula (asistencia a clases y participación en ellas) = 58 horas.

Clases expositivas: 28.
Clases interactivas de laboratorio: 28.
Tutorías: 2.

+Trabajo personal (estudio autónomo, realización de ejercicios, programación, lecturas recomendadas) = 92 horas.

- Mantener actualizado el conocimiento de los contenidos explicados en la clase.
- Hacer los ejercicios y programas propuestos.
- Comenzar a hacer las prácticas desde la primera sesión.
- Consultar todas las dudas con el profesor.

Las prácticas de programación se harán en MATLAB®.

Para los casos de realización fraudulenta de ejercicios o pruebas será de aplicación lo recogido en la "Normativa de avaliación do rendemento académico dos estudantes e de revisión de cualificacións" de la USC.