Ecuacións diferenciais Ordinarias/Sistemas Dinámicos

I. MÉTODOS NUMÉRICOS PARA PROBLEMAS DE VALOR INICIAL ASOCIADOS A ECUACIÓNS DIFERENCIAIS ORDINARIAS (EDO):
1. Coñecer os métodos máis comúns para a resolución numérica de problemas de valor inicial para EDO.
2. Familiarizarse cos conceptos de converxencia e orde, relacionados coa precisión, e co de estabilidade numérica, relacionado coa explosión do erro.
3. Observar os fenómenos do punto anterior, así como o efecto dos erros de redondeo sobre a converxencia, mediante a implementación en ordenador dalgún dos métodos estudados.

II. SISTEMAS DINÁMICOS:
1. Manexar con soltura algúns métodos analíticos de integración de ecuacións diferenciais ordinarias.
2. Entender e saber analizar os sistemas dinámicos de baixa dimensión.
3. Entender os conceptos elementais de bifurcacións e saber aplicalos a problemas concretos.
4. Usar os sistemas dinámicos para modelar e analizar problemas de interese industrial.

I. MÉTODOS NUMÉRICOS PARA PROBLEMAS DE VALOR INICIAL ASOCIADOS A ECUACIÓNS DIFERENCIAIS ORDINARIAS (EDO):
1. Concepto de problema de valor inicial (PVI) para EDO. Idea de solución numérica dun PVI.

2. Comandos MATLAB® para a resolución de PVI.

3. Definición de converxencia e de orde de converxencia. Erro de discretización e erro de redondeo; efecto do erro de redondeo sobre a converxencia.

4. Descrición dos métodos de Euler: explícito e implícito.

5. Métodos de orde alta:
5.a. Métodos dun paso non lineais: métodos Runge-Kutta (RK).
5.b. Métodos lineais multipaso (MLM):
5.b.i. Concepto de MLM. Arranque. Teorema da orde.
5.b.ii. MLM baseados en integración numérica:
• Métodos Adams-Bashforth.
• Métodos Adams-Moulton.
• Métodos Nyström.
• Métodos Milne-Simpson.
5.b.iii. MLM baseados en derivación numérica: métodos BDF.


II. SISTEMAS DINÁMICOS:
1. Sistemas dinámicos lineais.
1.a. Campos vectoriais lineais.
1.b. Cálculo da exponencial dunha matriz. Forma canónica de Jordan.
1.c. Teorema fundamental de existencia e unicidade de solución para sistemas lineais.
1.d. Subespazos invariantes: espazos estable, inestable e central.

2. Teoremas básicos relativos á teoría xeral de ecuacións diferenciais.
2.a. O teorema fundamental de existencia e unicidade de solución. Dependencia con respecto ás condicións iniciais e parámetros.
2.b. O problema da prolongación de solucións. Solucións maximais.
2.c. Fluxo asociado a un campo diferencial. Puntos singulares e puntos regulares. Órbitas. Conxuntos alfa-límite e omega-límite.

3. Teoría local.
3.a. Estabilidade de Liapunov. Funcións de Liapunov.
3.b. Conceptos de equivalencia e conxugación topolóxica. Estabilidade estructural.
3.c. O teorema das variedades invariantes.
3.d. Teorema de Hartman-Grobman.
3.e. Sistemas gradiente e sistemas hamiltonianos.

4. Teoría global.
4.a. O concepto de ciclo límite.
4.b. Circuitos eléctricos. Sistemas de Liénard. A ecuación de Van der Pol.
4.c. A aplicación de Poincaré.

I. MÉTODOS NUMÉRICOS PARA PROBLEMAS DE VALOR INICIAL ASOCIADOS A ECUACIÓNS DIFERENCIAIS ORDINARIAS:
BIBLIOGRAFÍA BÁSICA:
1. ASCHER, URI M.; PETZOLD, LINDA R. (1998) Computer Methods for Ordinary Differential Equations and Differential-Algebraic Equations. SIAM, Philadelphia, PA.
2. HAIRER, ERNST; NØRSETT, SYVERT PAUL; WANNER, GERHARD (1987) Solving Ordinary Differential Equations I. Nonstiff Problems. Springer, Berlin.
3. ISAACSON, EUGENE; KELLER, HERBERT BISHOP (1994, reimpresión correxida) Analysis of Numerical Methods. Dover Publications, New York, NY. [Edición orixinal: 1966 en Wiley.]
4. ISERLES, ARIEH (2008, segunda edición) A first course in the numerical analysis of differential equations. Cambridge Texts in Applied Mathematics. Cambridge University Press, Cambridge. [Primeira edición: 1997.]
5. LAMBERT, JOHN DENHOLM (1991) Numerical Methods for Ordinary Differential Systems. Wiley, Chichester.
6. STOER, JOSEF; BULIRSCH, ROLAND (2002, terceira edición) Introduction to Numerical Analysis. Springer, New York, NY. [Primeira edición: 1980.]

BIBLIOGRAFÍA COMPLEMENTARIA:

1. BUTCHER, JOHN CHARLES (2008, segunda edición) Numerical Methods for Ordinary Differential Equations Wiley, Chichester. [Primeira edición: 2003.]
2. CROUZEIX, MICHEL; MIGNOT, ALAIN L. (1989, segunda edición) Analyse Numérique des Équations Différentielles. Masson, Paris. [Primeira edición: 1984.]
3. DEKKER, KEES; VERWER, JAN G. (1984) Stability of Runge-Kutta Methods for Stiff Nonlinear Differential Equations. Elsevier Science Publishers B. V., Amsterdam.
4. HAIRER, ERNST; WANNER, GERHARD (1991) Solving Ordinary Differential Equations II. Stiff and Differential-Algebraic Problems. Springer, Berlin.
5. HENRICI, PETER (1962) Discrete Variable Methods in Ordinary Differential Equations. Wiley, New York, NY.
6. KINCAID, DAVID RONALD; CHENEY, ELLIOT WARD (2002, terceira edición) Numerical Analysis. Brooks/Cole, Pacific Grove, CA. [Primeira edición: 1991.]
7. LAMBERT, JOHN DENHOLM (1973) Computational Methods in Ordinary Differential Equations. Wiley, London.
8. QUARTERONI, ALFIO; SACCO, RICCARDO; SALERI, FAUSTO (2007, segunda edición) Numerical Mathematics. Springer, New York, NY. [Primeira edición: 2000.]

II. SISTEMAS DINÁMICOS:
BIBLIOGRAFÍA BÁSICA:
1. PERKO, LAWRENCE (2000, terceira edición). Differential Equations and Dynamical Systems. Texts in Applied Mathematics 7. Springer.
2. HIRSCH, MORRIS W.; SMALE, STEPHEN (1974). Differential Equations, Dynamical Systems and Linear Algebra. Pure and Applied Mathematics. Academic Press.

BIBLIOGRAFÍA COMPLEMENTARIA:
1. GUCKENHEIMER, JOHN; HOLMES, PHILIP (1983). Nonlinear oscillations, dynamical systems, and bifurcations of vector fields. Springer-Verlag New York.
2. HALE, JACK K.; KOÇAK, HÜSEYIN (1991). Dynamics and Bifurcations. Springer-Verlag, New York.
3. HAIRER, ERNST; NØRSETT, SYVERT PAUL; WANNER, GERHARD (1987) Solving Ordinary Differential Equations I. Nonstiff Problems. Springer, Berlin.

Básicas e xerais:
CG1 - Posuír coñecementos que aporten unha base ou oportunidade de ser orixinais no desenvolvemento e/ou aplicación de ideas, a miúdo nun contexto de investigación, sabendo traducir necesidades industriais en términos de proxectos de I+D+i no campo da Matemática Industrial.
CG4 - Saber comunicar as conclusións, xunto cos coñecementos e razóns últimas que as sustentan, a públicos especializados e non especializados dun xeito claro e sen ambigüidades.
CG5 - Posuír as habilidades de aprendizaxe que lles permitan continuar estudando dun xeito que haberá de ser en grande medida autodirixido o autónomo, e poder emprender con éxito estudos de doutoramento.

Específicas:
CE3 - Determinar se un modelo dun proceso está ben proposto matematicamente e ben formulado desde o punto de vista físico.

De especialidade “modelización”:
CM1 - Ser capaz de extraer, empregando diferentes técnicas analíticas, información tanto cualitativa como cuantitativa dos modelos.

As competencias anteriores, así como as descritas na páxina 8 da memoria da titulación no enlace

https://www.usc.gal/export9/sites/webinstitucional/gl/servizos/sxopra/m…,

trabállanse na aula e avalíanse segundo o sistema descrito no apartado “Sistema de avaliación da aprendizaxe”.

1. Planificación dos contidos de cada clase.
2. Explicación en encerado (lección maxistral) ou equivalente mediante o emprego de videoconferencia.
3. Programación no ordenador dalgúns métodos.

As competencias CG1, CG4 y CG5, así como a CE3 e a CM1, avalíanse mediante o proceso que se describe a continuación:

Para superar a materia, será obrigatorio entregar os exercicios e as prácticas de programación encargadas polos profesores nos prazos que estes marquen. A cualificación final resultará dun exame escrito no que:

• Cada unha das dúas partes da materia, é dicir, Métodos Numéricos para EDO por unha banda e Sistemas Dinámicos pola outra, teñen un peso do 50% na nota final.
• A parte do exame dedicada a Métodos Numéricos para EDO reserva un 30% do seu valor para preguntas relacionadas coas prácticas de programación.

A asistencia ou non asistencia ás clases non terá incidencia algunha na cualificación.

Horas de traballo persoal, incluíndo horas de clase: aproximadamente 150h (25 horas por ECTS).

O profesor está disposto a impartir as clases en inglés.

A orde na que se explican as dúas partes da materia, é dicir, Métodos Numéricos para EDO por unha banda e Sistemas Dinámicos pola outra, darase a coñecer a comezos de cada curso.

A primeira convocatoria de avaliación divídese en dous exames: un ao rematar a primeira parte da materia, sobre esa parte, e outro ao rematar as clases, sobre a segunda parte. Faise notar que ese segundo exame avalía soamente a segunda parte da materia, e que non se fai outro exame sobre a primeira parte.

As cualificacións parciais obtidas na primeira oportunidade non se gardan para a segunda. En particular, no caso de que unha/un estudante aprobe un dos dous exames, pero suspenda a materia, terá que examinarse de toda a materia na segunda oportunidade de avaliación.

Para os casos de realización fraudulenta de exercicios ou probas, será de aplicación o recollido na “Normativa de avaliación do rendemento académico dos estudantes e de revisión de cualificacións” da USC.